Bei Elefanten sind Männchen und Weibchen unterschiedlich sozial organisiert. Weibliche Elefanten leben in Gruppen. Die soziale Organisation der Afrikanischen Savannenelefantenkühe gehört zu den komplexesten im gesamten Tierreich. Sie gliedert sich in die vier Stufen: Familie, Herde, Gemeinschaft und Clan. Die Zahl der Mitglieder der jeweiligen Einheiten nimmt von Stufe zu Stufe zu und die Intensität der Bindungen zwischen den Mitgliedern ab. Die engsten Verbindungen gibt es in den Familien, die aus einer Mutter und ihrem Nachwuchs, manchmal bis zu drei unterschiedlich alten Geschwistern, bestehen. Mehrere verwandte Familien schließen sich typischerweise zu matriarchalischen Herden zusammen. Eine Herde zählt bei guter Nahrungsverfügbarkeit etwa zehn Tiere mehrerer Generationen und wird von einer Leitkuh angeführt. Mehrere entfernt verwandte oder befreundete Herden bilden sogenannte Fission-Fusion-Gemeinschaften von bis zu ca. 70 Elefanten, die sich immer wieder zusammenschließen und dann wieder ihre eigenen Wege gehen. Die Mitglieder einer Gemeinschaft haben normalerweise häufigen Kontakt, können aber auch bis zu mehreren Monaten über Hunderte von Kilometer voneinander getrennt sein. Bei einem Clantreffen kommen Herden von verschiedenen Gemeinschaften zusammen. In besonders nahrungsreichen Zeiten oder an guten Wasserstellen treffen sich manchmal Hunderte von Elefanten eines Clans. Es wird angenommen, dass Clantreffen das Zusammenfinden von Geschlechtspartnern erleichtern. Afrikanische Elefantenkühe sind rund um die Uhr mit ihrem Nachwuchs zusammen und verbringen durchschnittlich 80 Prozent ihrer Zeit mit Herdenmitgliedern, 50 Prozent mit Gemeinschaftsmitgliedern und 10 bis 20 Prozent mit Clanmitgliedern.
In den Herden und Gemeinschaften gibt es eine lineare Hierarchie, gegenseitige Unterstützung, Schutz vor Fressfeinden und Informationsaustausch. Der Rang eines Weibchens ist abhängig vom Alter, von der Erfahrung, Körpergröße und Sozialkompetenz. Falls ein Muttertier verstirbt, wird ihr Junges von den anderen Herdenmitgliedern aufgezogen. Die Leitkuh einer Herde ist typischerweise das älteste Weibchen mit besonders starken Bindungen zu allen anderen Herdenmitgliedern, viel Lebenserfahrung sowie besonders großer Sozialkompetenz. Die Leitung basiert mehr auf Respekt als auf Dominanz. Das Wohlergehen einer Herde ist abhängig von einer guten Leitung. Wenn eine Leitkuh verstirbt, steht der Herde oftmals eine schwierige Zeit bevor.
Die Männchen der Afrikanischen Elefanten sind im Unterschied zu den Weibchen mehr oder weniger unabhängig unterwegs und leben allein oder in kleinen Gruppen. Unter den Männchen in einer Region gibt es ebenfalls eine Rangordnung, die bei ihnen allerdings nur Größen-, Alters- und Erfahrungsabhängig ist, nicht aber von Bindungen oder der Sozialkompetenz abhängt. Bei Elefantenbullen wechseln sich individuelle sexuell inaktive und aktive Phasen ab. In den sexuell inaktiven Phasen streifen die Bullen typischerweise in kleinen Gruppen umher. Der Zusammenschluss der Gruppen ist allerdings viel lockerer als der der Weibchen in einer Herde und es gibt ein ständiges Kommen und Gehen, da jedes einzelne Männchen seinen eigenen Rhythmus lebt. Die Männchen schließen sich häufig immer wieder mit denselben anderen Bullen zusammen. In den sexuell inaktiven Phasen gehen Bullen friedlich miteinander um. Andere sexuell inaktive Männchen schließen sich nicht zusammen und streifen allein umher. In den sexuell aktiven Phasen gehen die Bullen auf der Suche nach paarungsbereiten Elefantenkühen ihrer eigenen Wege und schließen sich manchmal vorübergehend den Herden der Weibchen an. Zu anderen Männchen haben sie in dieser Zeit keinen Kontakt und gelegentliche Begegnungen verlaufen unfriedlich. Bei sexuell aktiven Männchen werden Bullen in der sogenannten Musth und nicht in der Musth unterschieden. Die Musth ist ein Zustand, der durch einen Testosteron-Schub ausgelöst wird und altersabhängig von wenigen Tagen bis mehrere Monate lang dauert. Eine Sekretabsonderung aus den Schläfendrüsen sowie ständiges Urintröpfeln zeigen die Musth an. Während dieser Zeit sind die Bullen sehr aggressiv und angriffslustig. Manchmal kommt es zu heftigen Kämpfen, bei denen sie sich lebensbedrohliche Verletzungen zufügen können. In der Musth kommt es zu temporären Verschiebungen in der Rangordnung bei den Männchen. Rangniedrigere Bullen können in der Musth ranghöheren vorrübergehend überlegen sein. In sexuell aktiven Phasen und vor allem in der Musth sind die Bullen be-sonders aktiv, haben ein größeres Streifgebiet und nehmen weniger Nahrung auf. Dadurch müssen sie sich nach der Musth regenerieren. Möglicherweise ist die zeitliche Begrenzung der sexuellen Aktivität der Männchen eine Anpassung an den hohen Energieaufwand, den das Auffinden von paarungsbereiten Weibchen erfordert.
Die Größe der Streifgebiete der Elefanten ist zum einen von der Lebensraumqualität und der Nahrungsverfügbarkeit abhängig. Zum anderen bestimmen das Geschlecht, der soziale Rang und die sexuelle Aktivität die Ausdehnung des Streifgebietes. In trockenen Gebieten in Mali können solche Gebiete beispielsweise mehr als 25.000 Quadratkilometer groß sein, während sie zum Beispiel in nahrungsreichen Regionen im Lake-Manyara-Nationalpark im Norden Tansanias zumeist nicht einmal 50 Quadratkilometer umfassen. Im Allgemeinen sind die Streifgebiete von ranghöheren Bullen deutlich kleiner als die von rangniedrigen, da sie die hochwertigeren Lebensräume beanspruchen.
Elefanten sind vor allem frühmorgens, abends und rund um Mitternacht aktiv und bewegen sich zwischen Futterplätzen, Wasser und Schattenplätzen. Im Lebensraum der Afrikanischen Savannenelefanten stellt Wasser oft die knappste Ressource dar. Der Tagesablauf und das Wanderverhalten richten sich daher häufig nach der Wasserverfügbarkeit. In trockenen Gebieten legen Elefanten etwa 5 bis 13 Kilometer pro Tag zurück. Bullen in der Musth wandern täglich rund 10 bis 17 Kilometer umher.
Afrikanische Elefanten fressen sowohl tagsüber als auch nachts. Sie schlafen nach Mitternacht und während der Mittagshitze und insgesamt nur ca. drei bis vier Stunden pro Tag. Die größte Gefahr für die Elefanten geht von den Menschen aus. Daher versuchen sie Begegnungen zu vermeiden und richten ihren Rhythmus darauf aus. Untersuchungen zeigen, dass sich die Aktivität der Elefanten außerhalb von Schutzgebieten auf nachts verschiebt.
Elefanten gehören zu den intelligentesten Tieren, die es gibt. Sie haben große und komplexe Gehirne. Dabei sind die Gehirne der Afrikanischen Elefanten die größten aller auf der Erde lebenden und je gelebten Landlebewesen. Die Großhirnrinde des Elefantengehirns verfügt über eine besonders große Oberfläche. Elefanten besitzen eine große Lernkapazität, ein enormes Langzeitgedächtnis und die Fähigkeit zur Empathie. Afrikanische Savannenelefanten können beispielsweise die Laute von über 100 Artgenossen auseinanderhalten. Ein Beispiel für empathisches Verhalten ist, dass sie ein verletztes Herdenmitglied mit Futter versorgen, wenn es dies selbst nicht kann.
Elefanten haben ein breites Spektrum an verschiedenen Kommunikationsweisen. Dieses umfasst die akustische Kommunikation, die chemische Kommunikation über Botenstoffe, Berührungen, Körpersprache und Infraschall. Möglicherweise kommunizieren Elefanten zudem über seismische Schwingungen. Wenn sie aufgeregt sind, trompeten Elefanten mit ihrem Rüssel. Das dabei erzeugte Geräusch ist sehr laut und im Vergleich mit ihren anderen Lauten relativ hochfrequent. Ihre Infraschall-Laute mit einer Frequenz von maximal 20 Hertz sind hingegen für uns Menschen kaum zu hören. Die tieffrequenten Töne produzieren die Elefanten mit den Stimmlippen des Kehlkopfs. Die Schallwellen werden dann über den Boden geschickt und mit Druckrezeptoren in den Füßen und der Rüsselspitze empfangen. Die Kommunikation über Infraschall ermöglicht es den Elefanten, über Distanzen von bis zu zehn Kilometern im Kontakt zu sein, und spielt unter anderem beim zueinander finden von Geschlechtspartnern eine wichtige Rolle. In der Savanne können Elefanten tagsüber Informationen per Infraschall im Umkreis von ca. 30 Quadratkilometern empfangen, abends, wenn der Boden abkühlt sogar im Umkreis von ca. 300 Quadratkilometern. Persönlichen Infraschallbotschaften von individuellen Absendern können Elefanten im Umkreis von etwa einem Kilometer, bei guten Witterungsverhältnissen möglicherweise sogar im Umkreis von bis zu zweieinhalb Kilometern erkennen. Sozial eng verbundene Elefanten können sich also etwa in diesem Umkreis entfernt voneinander aufhalten und in Kontakt sein.
Begrüßungszeremonien zwischen miteinander vertrauten Elefanten beinhalten ein ritualisiertes „Berüsseln“. Elefanten gehören neben einigen Primaten, Meeressäugern und Fledermäusen zu den wenigen Säugetieren, die die Fähigkeit zum stimmlichen Lernen besitzen. Sie haben also nicht nur ein genetisches Repertoire, sondern können auch Laute imitieren und erlernen. Bei Gefahr stellen Elefanten ihre großen Ohren seitlich auf, so dass sie von vorne noch größer wirken. Das Ohrenwedeln hat hingegen wohl keine kommunikative Bedeutung und dient der Thermoregulation.
Einer der erstaunlichsten Verhaltensweisen von Elefanten ist ihr Umgang mit den sterblichen Überresten von Artgenossen. Sowohl die Afrikanischen als auch die Asiatischen Elefanten berühren ihre Knochen, begraben die Kadaver und halten Totenwache. Dabei können sie die Überreste eines Elefanten klar von denen anderer Tiere unterscheiden.
Afrikanische Savannenelefanten haben normalerweise keine natürlichen Feinde. Allerdings haben sich in Botswana mehrere Löwenrudel darauf spezialisiert, junge Elefantenbullen zu jagen, die gerade erst ihre Herden verlassen haben und allein umherziehen.